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Ce que vous allez créerNous avons déjà beaucoup utilisé les cercles pour créer diverses grilles pour un certain nombre de motifs. Dans cette leçon, nous utilisons les cercles pour leur propre intérêt, à savoir dans deux types de constructions: spirales et cercles inscrits.
Il existe plusieurs types de spirales. La distance entre les tournants et l'angle de chaque virage déterminent leur apparence. Certains peuvent être définis à l'aide d'une équation mathématique, qui traduit, pour des spirales spécifiques, des constructions géométriques faciles, approximatives mais suffisamment bonnes pour l'œil..
Cette spirale est définie par une distance égale entre les tournants, ce qui lui donne un aspect concentrique. Il est dessiné en déplaçant la pointe de la boussole d’un point à l’autre d’une figure de base pouvant être un segment (deux points), un triangle, un carré, etc. cela rend également la construction plus fastidieuse, un hexagone est le plus élevé on va habituellement.
Sur une ligne horizontale, tracez un demi-cercle le plus petit possible. C'est le premier tournant de la spirale, et les deux points où il coupe la ligne sont les points de construction.
Placez la boussole sur l'un des points, ouvrez-la à la rencontre de l'autre et tracez un demi-cercle de l'autre côté de la ligne. Les deux demi-cercles forment une courbe continue.
Déplacez la boussole vers le premier point, ouvrez-la pour atteindre le bout de la courbe et tracez un autre demi-cercle..
Continuez dans cette veine, en déplaçant le compas d’un des points de construction à l’autre et en ajustant chaque fois l’ouverture pour reprendre les courbes là où vous les avez laissées..
Continuez autant que vous le souhaitez. La spirale ressemblera à ceci:
La méthode est la même mais on commence avec un triangle équilatéral dont les côtés sont étendus. La boussole se déplace du point 1 au point 2 à 3 puis au point 1, et ainsi de suite. Si les côtés sont étendus comme indiqué ici, la spirale tourne dans le sens des aiguilles d'une montre (et la boussole se déplace d'un point à l'autre dans le sens des aiguilles d'une montre).
Dessine le premier arc.
Passer au point suivant, ajuster l'ouverture et dessiner le prochain arc.
Passez au troisième point et répétez.
Après quelques retournements, la spirale ressemble à ceci:
Notre base est maintenant un carré et nous travaillons toujours dans le sens des aiguilles d'une montre. Au fur et à mesure que l'angle des retournements devient plus petit (il était d'abord de 180º, puis de 120º et maintenant de 90º), la spirale devient plus douce..
Dessine le premier quart de cercle.
Déplacez-vous au deuxième point, ajustez l'ouverture de la boussole et tracez le quart de cercle suivant.
Répétez avec les troisième et quatrième points.
Comment se présente la spirale après quelques tours:
Avec un hexagone comme base, la construction est vraiment la même. La partie critique dessine très précisément les bases et l’extension de leurs côtés. Ensuite, parcourez simplement les six points:
La spirale après quelques tours:
Lorsque ces spirales sont placées côte à côte, nous pouvons apprécier à quel point elles sont plus lisses et parfaitement circulaires lorsque la base a un nombre de points supérieur..
Contrairement aux spirales régulières ci-dessus, la distance entre les tournants successifs dans spirales logarithmiques grandit dans une séquence géométrique. De telles spirales, présentes dans la croissance de nombreux organismes, sont auto-similaires: la taille de la spirale augmente mais sa forme ne change pas (pour cela, il a également été nommé spira mirabilis, la "spirale miraculeuse"). le spirale dorée est un type de spirale logarithmique avec un facteur de croissance lié au nombre d'or.
Le moyen le plus simple de dessiner une telle spirale est de partir de ses limites extérieures, contrairement à la précédente. Nous allons donc commencer par construire un rectangle d'or (j'expliquerai ce que c'est quand ce sera fait.)
Construire un carré. (Oublié comment? Voir Travailler avec 4 et 8.)
Étendre les côtés AB et DC.
Avec le point sec sur E et le compas ouvert à EC, tracez un arc qui coupe l’AB étendu en G.
Déplacez le point sec sur F et tracez un arc qui coupe le CD étendu en H.
Rejoignez GH pour compléter le rectangle.
Ceci s'appelle un rectangle d'or parce que AB / AG = BG / AB, autrement dit, la relation du côté le plus long au segment entier est la même que celle du côté le plus court au plus long.
Un morceau de papier A4 (ou tout autre format de la série A) est un rectangle d'or. Vous pouvez donc utiliser sa surface totale comme rectangle extérieur et passer directement à l'étape 6..
Nous devons maintenant décomposer ce rectangle en carrés. Nous avons déjà le premier carré. Le prochain sera sorti du rectangle BGHC.
Placez votre point sec sur B et ouvrez-le à la longueur du segment court. Mark I sur BC.
Déplacez le point sec sur G et marquez J sur GH.
Connect IJ: nous avons maintenant un carré BGJI et un nouveau rectangle qui reste.
Répétez cette opération dans chaque rectangle successif, en créant toujours le carré contre le bord extérieur du rectangle.
Lorsque nous avons suffisamment de carrés ou qu'ils deviennent trop petits pour travailler, nous pouvons dessiner la spirale appropriée.
Placez le point sec sur le C, laissez l’ouverture égale au côté du premier carré et tracez un quart de cercle DB..
Déplacez le point sec sur I, réduisez l'ouverture sur le côté du second carré et tracez un arc BJ.
Et ainsi de suite à travers toutes les places…
La sensation de cette spirale est très différente de l'aspect concentrique et même statique des spirales régulières: elle est beaucoup moins contenue, avec un mouvement dynamique.
Les cercles peuvent être inscrits, c'est-à-dire dessinés à l'intérieur d'une forme de manière à être tangents à ses côtés, dans des angles, des polygones ou d'autres cercles. Cet appareil est à la base d’une grande partie de la géométrie décorative de l’Occident, par exemple dans l’illumination celtique ou les rosaces gothiques. Nous allons examiner deux constructions de base que nous pouvons utiliser avec n'importe quel polygone ou n'importe quel nombre de cercles à l'intérieur d'un cercle, puis construire deux fenêtres à part entière avec leurs traceries..
Cette méthode vous permet d’inscrire le nombre de cercles de votre choix dans un cercle. Commencez par diviser votre cercle de manière égale dans le nombre de sections souhaité, puis procédez comme suit pour chaque secteur. Le secteur montré ici est issu d'un cercle divisé en six.
Bisect le secteur. La bissectrice coupe l'arc en Q.
Nous devons maintenant dessiner la perpendiculaire à PQ en Q. Avec le point sec de la boussole sur Q et toute ouverture, dessinez un arc qui coupe la bissectrice au point A.
Déplacez le point sec sur A et tracez un autre arc en coupant le premier en B.
Connectez la ligne AB et étendez-la un peu.
Avec la même ouverture de boussole et le point B, marquer le point C.
CQ est la perpendiculaire à PQ.
Étendre un côté du secteur pour réduire le CQ au point E.
Couper l'angle QEP.
Cette bissectrice coupe QP en un point O.
Le point O est le centre du cercle inscrit dans ce secteur. Le cercle peut maintenant être tracé, avec la boussole sur O et l'ouverture réglée sur OQ.
Voici quelques possibilités, en fonction du nombre de secteurs dans lesquels le cercle a été divisé. Notez que, les cercles étant tangents, les arcs entre leurs points de contact peuvent être omis pour créer des rosaces.
Cette méthode consiste à insérer un nombre de cercles dans un polygone égal au nombre de côtés de ce polygone (trois cercles dans un triangle, cinq dans un pentagone, quatre ou huit dans un octogone…)..
Connectez d’abord le centre de chaque côté au centre du polygone, divisant ainsi le polygone en cerfs-volants, puis procédez comme suit pour chaque cerf-volant.
Bisect ACB. Cette bissectrice coupe AB en O.
O est le centre de notre cercle inscrit, mais pour déterminer le rayon du cercle avec précision, nous devons trouver un point F sur AD de sorte que OF soit perpendiculaire à AD. C'est le but des étapes restantes:
Avec le point sec sur A et le compas ouvert sur AO, tracez un arc.
Déplacez le point sec sur D et recommencez pour trouver le point E.
Rejoignez OE pour couper AD en F.
Le cercle inscrit peut maintenant être tracé, avec le centre O et le rayon OF.
Comme avec la construction précédente, différents polygones auront différentes formes, et les arcs internes peuvent être effacés pour créer des rosettes..
De telles fenêtres d'église trahissant une influence celtique peuvent être repérées dans de nombreux endroits autour des îles britanniques.
Commencez avec un cercle. Divisez-le en six et dessinez les diamètres.
Joignez trois de ces points pour créer un triangle équilatéral.
Avec l'ouverture de la boussole ci-dessous, dessinez le cercle inscrit dans le triangle.
Dessine un autre triangle inscrit dans ce cercle.
Avec l'ouverture de la boussole ci-dessous, dessinez les trois cercles centrés sur les points du triangle.
En ouvrant la boussole ci-dessous, tracez le cercle dans lequel sont inscrits les trois plus petits..
Si vous voulez juste un rendu linéaire, vous pouvez vous arrêter ici et encrer les arcs suivants:
Pour tracer les entrelacs de la fenêtre, c'est-à-dire pour donner à ces lignes leur épaisseur et leurs détails propres (où la "ligne", le cadre de la fenêtre, a son épaisseur et ses détails), continuez…
Placez le point sec à l’une des intersections d’un diamètre avec le dernier cercle dessiné, et réglez l’ouverture sur la différence entre les deux grands cercles. Dessine un petit cercle.
Ramenez le point sec au centre d'origine et ouvrez-le comme indiqué. Tracez un troisième grand cercle le plus profond.
Maintenant, pour chacun des trois cercles, dessinez un cercle intérieur en utilisant l'ouverture montrée ci-dessous.
Maintenant changez l’ouverture comme indiqué, et pour chacun des trois, tracez cet arc:
Vous pouvez maintenant encrer les deux cercles extérieurs…
… Puis les formes de gouttes intérieures…
… Et enfin les lignes centrales du triskele.
C'est une fenêtre de la façade ouest de la cathédrale de Chartres, et la plus ancienne de l'immeuble.
Commencez avec un grand cercle. Divisez-le en huit, en suivant les étapes pour dessiner un carré (inutile de dessiner le carré lui-même, nous n'avons besoin que de ses diagonales).
Bisecter la moitié des secteurs pour diviser le cercle plus loin en 16.
Il y a maintenant huit diamètres. Numéroter les points pour plus de clarté.
Joignez les points pairs pour créer un octogone statique.
Les côtés de l'octogone coupent les diamètres en huit points. Joignez-les pour créer un octogone dynamique inscrit.
Maintenant, dessinez un autre octogone statique inscrit dans le précédent.
Maintenant, revenant aux points numérotés, joignez les paires suivantes: 2-8 et 10-16, puis 4-14 et 6-12.
Rejoignez les 2-12 et 4-10, et enfin les 6-16 et 8-14.
Remarquez les endroits suivants où trois lignes se croisent: ce sont les centres des huit cercles formant la rosace..
Avec la boussole qui s'ouvre ci-dessous, tracez un cercle centré sur chacun de ces points..
Encre les arcs montrés ici.
Modifiez l'ouverture de la boussole comme indiqué ici et répétez l'opération. Il n'est pas nécessaire de dessiner les cercles pleins - vous pouvez arrêter les arcs là où ils rencontrent un diamètre et les encrer.
Changez l’ouverture du compas une fois de plus et recommencez, en vous arrêtant de nouveau au diamètre.
Rejoignez les extrémités ouvertes des arcs.
Encre les lignes entre les arcs; ce sont des portions de diamètres.
Avec un dernier ajustement de la boussole, dessinez et encrez le cercle ci-dessous.
Enfin, encrer le cercle extérieur.
Avec ce chapitre sur les cercles, nous avons terminé la partie de base de ces leçons sur les dessins géométriques. À partir du mois prochain, nous nous concentrerons sur des motifs complets et des motifs de complexité croissante, de l'Est à l'Ouest..
Accentsconagua